Một trong những thách thức lớn nhất của đại số, bài toán giải phương trình đa thức bậc cao (từ bậc 5 trở lên) vốn làm đau đầu các nhà toán học trong gần 2 thế kỷ, dường như cuối cùng đã tìm được lời giải. Giáo sư Danh dự Norman Wildberger từ Đại học New South Wales (UNSW), Úc, cùng cộng sự, tiến sĩ Dean Rubine, vừa công bố một phương pháp tiếp cận hoàn toàn mới, hứa hẹn thay đổi cách chúng ta nhìn nhận vấn đề nan giải này.
Bài toán tưởng chừng không có lời giải trong gần 2 thế kỷ đã được… bẻ khóa.
Kể từ năm 1832, khi nhà toán học thiên tài Évariste Galois chứng minh rằng không tồn tại công thức tổng quát sử dụng căn thức để giải các phương trình đa thức bậc 5 trở lên, giới toán học đã phải chấp nhận một giới hạn. Các phương pháp truyền thống tỏ ra bất lực. Tuy nhiên, vào năm 2025, giáo sư Wildberger tin rằng ông đã "bẻ khóa" được bài toán bằng cách từ bỏ căn thức và các số vô tỷ - những con số mà ông cho rằng khiến phép tính trở nên bất khả thi do tính vô hạn không tuần hoàn của chúng.
Thay vào đó, phương pháp của Wildberger và Rubine sử dụng "chuỗi lũy thừa" (đa thức có vô số số hạng) để tìm nghiệm xấp xỉ, hoàn toàn loại bỏ sự phụ thuộc vào số vô tỷ. Cốt lõi của khám phá này nằm ở việc mở rộng khái niệm số Catalan (Cm) – vốn dùng để đếm số cách chia một đa giác thành các tam giác – thành "số siêu Catalan" (Cm). Các số siêu Catalan này đếm số cách chia một đa giác thành các hình phức tạp hơn như tứ giác, ngũ giác. Nghiên cứu của họ chỉ ra rằng chuỗi số siêu Catalan cũng thỏa mãn một phương trình đa thức với một quy luật hình học đặc biệt. Từ đó, họ phát hiện ra một cấu trúc số phi thường được đặt tên là "mảng Geode".
"Mảng Geode là một tập hợp bí ẩn dường như làm nền tảng cho các tính toán liên quan đến số Catalan", giáo sư Wildberger chia sẻ. Đột phá này không chỉ dừng lại ở mặt lý thuyết. Nó mở ra những ứng dụng thực tiễn to lớn, bởi việc giải phương trình đa thức là nền tảng cho vô số vấn đề trong khoa học và tính toán. Phương pháp mới có thể dẫn đến các thuật toán hiệu quả hơn, tránh được những tính toán dựa trên căn thức vốn kém hiệu quả. Ngay cả phương trình bậc 5 cũng có thể được giải quyết một cách logic.
Khám phá này cũng khơi dậy những hướng nghiên cứu mới cho các nhà toán học trong lĩnh vực dãy tổ hợp và cấu trúc của mảng Geode. "Chúng tôi kỳ vọng việc nghiên cứu mảng Geode mới này sẽ đặt ra nhiều câu hỏi mới và khiến các nhà toán học tổ hợp bận rộn trong nhiều năm", giáo sư Wildberger nói. Công trình hiện đang tiếp tục tạo ra những cuộc thảo luận sôi nổi trong giới học thuật toàn cầu.
