Từ thuở sơ khai, khái niệm "vô cực" luôn là một câu đố đầy mê hoặc. Đối với người thường, vô cực chỉ đơn giản là không có điểm dừng. Nhưng với các nhà toán học, vô cực không chỉ có một hương vị.
Trong nhiều thế kỷ, họ đã dày công xây dựng một "chiếc thang" vĩ đại để phân loại các vô cực, từ những tập hợp số tự nhiên đơn giản (Aleph-null) ở đáy tháp cho đến những tập hợp số thực khổng lồ và các "bản số lớn" phức tạp ở đỉnh cao. Đó là một cấu trúc trật tự, tuyến tính và đầy tính thẩm mỹ.
Tuy nhiên, sự bình yên của tòa tháp này vừa bị lung lay dữ dội. Một nhóm nghiên cứu từ Đại học Công nghệ Vienna và Đại học Barcelona vừa công bố trên arXiv về việc tìm ra hai "cư dân" mới trú ngụ tại tầng cao nhất của thế giới vô hạn: bản số exacting (khắt khe) và bản số ultra-exacting (siêu khắt khe). Điều đáng sợ là chúng từ chối tuân theo luật chơi cũ.
Những kẻ nổi loạn trong thế giới số
Theo Giáo sư Joan Bagaria từ Đại học Barcelona, hai loại bản số này tồn tại ở vùng cực hạn của hệ thống phân cấp. Chúng mạnh mẽ hơn, "lớn" hơn và phức tạp hơn bất kỳ khái niệm vô cực nào trước đây. Nếu bản số exacting có thể tương tác với vũ trụ toán học theo những cách chưa từng thấy, thì bản số ultra-exacting lại giống như một phiên bản sở hữu "siêu năng lực", khuếch đại tác động của chúng lên toàn bộ hệ thống.
Vấn đề nằm ở chỗ, các "bản số lớn" trước đây thường tuân theo một tiến trình tuyến tính có thể dự đoán được, giúp củng cố Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel (ZFC) - nền tảng của toán học hiện đại.
Ngược lại, hai loại bản số mới này lại phá vỡ các khuôn mẫu truyền thống. Nhà toán học Juan Aguilera từ Đại học Công nghệ Vienna nhận định: "Thông thường, các khái niệm lớn về vô cực tự sắp xếp chính mình theo trật tự. Nhưng các bản số ultra-exacting thì khác. Chúng tương tác rất kỳ lạ với các khái niệm cũ".
Khi trật tự nhường chỗ cho hỗn loạn
Phát hiện này giáng một đòn mạnh vào "Giả thuyết HOD" (Tính xác định thứ tự di truyền) - niềm hy vọng lâu nay của giới toán học rằng ngay cả những vô cực ngỗ ngược nhất cũng có thể được thuần hóa và sắp xếp. Giả thuyết này đề xuất rằng vũ trụ toán học giống như một thư viện ngăn nắp, nơi mọi tập hợp vô hạn đều có thể được định nghĩa và lập danh mục.
Tuy nhiên, sự tồn tại của các bản số exacting và ultra-exacting đã tạo ra một kịch bản mà các nhà khoa học gọi là "V rất xa HOD" (V is far from HOD). Dịch sang ngôn ngữ phổ thông, điều này có nghĩa là vũ trụ toán học không phải là một thư viện trật tự, mà là một vùng hoang dã hỗn loạn, rộng lớn và không thể thuần hóa. Phần "có thể định nghĩa" và hiểu được chỉ là một ốc đảo nhỏ bé giữa sa mạc mênh mông của sự bất định.
Tại sao chúng ta cần quan tâm?
Nhiều người có thể tự hỏi: "Thêm vài con số vô cực thì ảnh hưởng gì đến cuộc sống của tôi?". Thực tế, tầm ảnh hưởng của phát hiện này vượt xa những trang giấy nháp của các giáo sư. Vô cực nằm ở trái tim của những công nghệ định hình thế giới hiện đại như mật mã học, trí tuệ nhân tạo (AI) và cả những nghiên cứu vũ trụ học về lỗ đen.
Việc tìm ra các loại vô cực mới không chỉ giúp mở đường cho những tiến bộ trong an ninh mạng hay vật lý lý thuyết, mà quan trọng hơn, nó là một bài kiểm tra sức chịu đựng (stress-test) cho nền móng của tri thức nhân loại.
Chúng ta không chỉ đang xây thêm tầng cho tòa nhà chọc trời của toán học, mà đang kiểm tra xem liệu nền đá logic bên dưới có đủ vững chắc hay không, hay toàn bộ hệ thống máy tính và khoa học hiện đại đang đứng trên bờ vực của sự sụp đổ về mặt lý thuyết.
Hơn cả một bài toán, sự xuất hiện của các bản số mới buộc chúng ta đối mặt với một câu hỏi triết học sâu sắc: Liệu con người có bao giờ thực sự hiểu được vũ trụ, hay vô cực sẽ mãi mãi là một biến số hỗn loạn luôn chực chờ đánh úp sự kiêu ngạo của trí tuệ nhân loại?
